Question

4．已知f₁（x）=e^xsinx，f_n（x）=f_n-1′（x）（n≥2，n∈N^*），則f₁（0）+f₂（0）+f₃（0）+…+f₂₀₁₂（0）=1+4⁵⁰³．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的規(guī)律性轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f₁（x）=e^xsinx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=e^xsinx+e^xcosx，
f₃（x）=f₂′（x）=e^xsinx+e^xcosx+e^xcosx-e^xsinx=2e^xcosx，
f₄（x）=f₃′（x）=2e^xcosx-2e^xsinx，
f₅（x）=f₄′（x）=2e^xcosx-2e^xsinx-2e^xsinx-2e^xcosx=-4e^xsinx=-4f₁（x），
f₆（x）=f₅′（x）=-4e^xsinx-4e^xcosx=-4（e^xsinx+e^xcosx）=-4f₂（x），
則f₁（0）=0，f₂（0）=1，f₃（0）=2，f₄（0）=2，
 f₅（0）=0，f₆（0）=-4，f₇（0）=-8，f₈（0）=-8，
…
歸納得每四個(gè)的和構(gòu)成一個(gè)5為首項(xiàng)，以-4為公比的等比數(shù)列
∵2012=4×503，
∴f₁（0）+f₂（0）+f₃（0）+…+f₂₀₁₂（0）=$\frac{5×[1-（-4）^{503}]}{1-（-4）}$=1+4⁵⁰³，
故答案為：1+4⁵⁰³

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式的應(yīng)用，以及數(shù)列求和，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f_n（0）的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．