Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知斜率存在的動直線l與橢圓C交于不同的點A、B，且△OAB的面積為1，若P為線段AB的中點，問：在x軸上是否存在兩個定點M、N，使得直線PM與直線PN的斜率之積為定值，若存在，求出M、N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)點的坐標和離心率，即可求出橢圓的方程，
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l：y=kx+m，構(gòu)造方程組，消元，根據(jù)韋達定理，和弦長公式，以及點到直線的距離公式，以及三角形的面積公式，得到2|m|$\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}$=1+4k²，再根據(jù)中點坐標公式得到P點的坐標，繼而得到$\frac{1}{2}$x_P²+2y_P²=1，假設(shè)存在M（s，0），N（t，0），（s≠t），運用斜率公式，計算化簡整理，利用定值思想，可得s+t=0，st=-2，求得s，t，進而得到定值．

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴a²=4b²，即a=2b，
∵經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（II）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l：y=kx+m，
聯(lián)立方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消元得到（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由韋達定理知，x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由弦長公式知|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
原點到直線l的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
假設(shè)存在兩定點為A（s，0），B（t，0），
因此S△_OAB$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2|m|\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=1，
∴2|m|$\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}$=1+4k²，
令1+4k²=n，
∴2|m|$\sqrt{n-{m}^{2}}$=n，
∴4m⁴-4m²n+n²=0，
即n=2m²，
即1+4k²=2m²，①
又P為線段AB的中點，x_P=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4km}{1+4{k}^{2}}$，y_P=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$，
因此，x_P=$\frac{-2k}{m}$，y_P=$\frac{1}{2m}$，
因此，$\frac{1}{2}$x_P²+2y_P²=1，
假設(shè)存在M（s，0），N（t，0），（s≠t），
那么k_PM=$\frac{{y}_{p}}{{x}_{P}-s}$（x_p≠s），k_PN=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}-t}$（x_p≠t），
∴k_PM•k_PN=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{{{x}_{P}}^{2}}{2}}{{{x}_{P}}^{2}-（s+t）{x}_{P}+st}$=-$\frac{1}{4}$•$\frac{{{x}_{P}}^{2}-2}{{{x}_{P}}^{2}-（s+t）{x}_{P}+st}$，
當s+t=0，st=-2時，k_PM•k_PN=-$\frac{1}{4}$，
解得s=$\sqrt{2}$，t=-$\sqrt{2}$，
故在x軸上存在兩個定點M（$\sqrt{2}$，0），N（-$\sqrt{2}$，0）使得直線PM與直線PN的斜率之積為定值．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義和方程的運用，同時考查存在性問題的解決方法，注意運用點滿足方程，以及直線的斜率公式及恒成立思想，屬于難題．