Question

動曲線Γ₁的初始位置所對應(yīng)的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜0），一個焦點(diǎn)為F₁（-c，0），曲線Γ₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＞0）的一個焦點(diǎn)為F₂（c，0），其中a＞0，b＞0，c=

a2+b2

．現(xiàn)將Γ₁沿x軸向右平行移動．給出以下三個命題：
①Γ₂的兩條漸近線與Γ₁的交點(diǎn)個數(shù)可能有3個；
②當(dāng)Γ₂的兩條漸近線與Γ₁的交點(diǎn)及Γ₂的頂點(diǎn)在同一直線上時，曲線Γ₁平移了（

2

+1）a個單位長度；
③當(dāng)F₁與F₂重合時，若Γ₁，Γ₂的公共弦長恰為兩頂點(diǎn)距離的4倍，則Γ₁的離心率為3．
其中正確的是（　�。�

• A、②③
• B、①②③
• C、①③
• D、②

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：①由已知條件知，Γ₁沿x軸向右平行移動a個單位時，Γ₂的兩條漸近線與Γ₁的交點(diǎn)個數(shù)為1個，由此利用由橢圓的對稱性知Γ₂的兩條漸近線與Γ₁的交點(diǎn)個數(shù)不可能有3個；②解方程組

y=± b a x x=a

，得Γ₁的移動后的圖象過點(diǎn)（a，b），（a，-b）．把y=b代入：

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜0），得x=-

2

a，由此求出曲線Γ₁平移了（

2

+1）a個單位長度；③F₁與F₂重合時，Γ₁，Γ₂的公共弦長為

2b2

a

，由此能求出Γ₁的離心率為e=

c

a

=

5

．

解答： 解：①由已知條件知，Γ₁沿x軸向右平行移動a個單位時，
得到

(x-a)2

a2

-

y2

b2

=1，
聯(lián)立方程組

y=± b a x (x-a)2 a2 - y2 b2 =1

，解得x=y=0，
∴由橢圓的對稱性知Γ₂的兩條漸近線與Γ₁的交點(diǎn)個數(shù)不可能有3個，故①錯誤；
②∵Γ₂的兩條漸近線與Γ₁的交點(diǎn)及Γ₂的頂點(diǎn)在同一直線上，
∴解方程組

y=± b a x x=a

，得Γ₁的移動后的圖象過點(diǎn)（a，b），（a，-b）．
把y=b代入：

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜0），得x=-

2

a，
∴曲線Γ₁平移了（

2

+1）a個單位長度，故②正確；
③F₁與F₂重合時，解方程組

(x-2c)2 a2 - y2 b2 =1 x2 a2 - y2 b2 =1

，
得Γ₁，Γ₂的公共弦長為

2b2

a

，
∵Γ₁，Γ₂的公共弦長恰為兩頂點(diǎn)距離的4倍，
∴

2b2

a

=8a，解得b²=4a²，從而c²=5a²，
∴Γ₁的離心率為e=

c

a

=

5

．故③不正確．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的平移性質(zhì)的靈活運(yùn)用．