Question

4．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₅=25．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和S_n和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將各項(xiàng)均用首項(xiàng)和公差（公比）表示出來，然后聯(lián)立方程組，計(jì)算即得公差、公比，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1），利用等差、等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₅=25，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1+2d）+{q}^{2}=9}\\{（1+4d）+{q}^{4}=25}\end{array}\right.$，
整理得：q⁴-2q²-8=0，
解得：q²=4或q²=-2（舍），
又∵數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，
∴q=2，d=2，
∴a_n=2n-1，$_{n}={2}^{n-1}$；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．