Question

經(jīng)市場調(diào)查：生產(chǎn)某產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為W（x）萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)=

1

3

x2+x（萬元），在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)=6x+

100

x

-38（萬元）．通過市場分析，每件產(chǎn)品售價為5元時，生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；
（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）
（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當(dāng)x≥8兩種情況得到L與x的分段函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0＜x＜8時根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來求L的最大值，當(dāng)x≥8時，利用基本不等式來求L的最大值，最后綜合即可．

解答： 解：（1）因為每件產(chǎn)品售價為5元，則x（萬件）商品銷售收入為5x萬元，依題意得：
當(dāng)0＜x＜8時，L（x）=5x-（

1

3

x²+x）-3=-

1

3

x²+4x-3，
當(dāng)x≥8時，L（x）=5x-（6x+

100

x

-38）-3=35-（x+

100

x

），
∴L（x）=

- 1 3 x2+4x-3，0＜x＜8 35-(x+  100 x )，x≥8

．
（2）當(dāng)0＜x＜8時，L（x）=-

1

3

（x-6）²+9，此時，當(dāng)x=6時，L（x）取得最大值9；
當(dāng)x≥8時，L（x）=35-（x+

100

x

）≤35-2

x• 100 x

=15，
此時，當(dāng)x=

100

x

即x=10時，L（x）取得最大值15；
∵9＜15，
∴年產(chǎn)量為10萬件時，這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤是15萬元．

點評：考查學(xué)生根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運用基本不等式求最值的能力．