Question

數(shù)列{a_n}的通項公式是關于x的不等式x²-x≤nx（n∈N^*）的解集中的整數(shù)個數(shù)，則數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和S_n=（　　）

• A、

  n

  3(n+3)

• B、n（n+1）
• C、

  n

  n+1

• D、

  n+1

  n+2

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由x²-x≤nx（n∈N^*），解得0≤x≤n+1，所以a_n=n+2，從而得到

1

anan+1

=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和S_n．

解答： 解：∵x²-x≤nx（n∈N^*），∴x²-（n+1）x≤0
解得0≤x≤n+1，
∵數(shù)列{a_n}的通項公式是關于x的不等式x²-x≤nx（n∈N^*）的解集中的整數(shù)個數(shù)，
∴a_n=n+2，
∴

1

anan+1

=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，
∴S_n=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+2

-

1

n+3

=

1

3

-

1

n+3

=

n

3(n+3)

．
故選：A．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．