Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-3x．
（1）若f（x）在x=3處有極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，求f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由題意得f'（3）=9-3a-3=0，解出a后檢驗(yàn)即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值、斷點(diǎn)處函數(shù)值，其中最大者即為最大值；

解答： 解：（1）f'（x）=x²-ax-3．
∵f（x）在x=3處有極值，∴f'（3）=9-3a-3=0，即a=2．
∴f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）．
當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=3處取得極值時(shí)，a=2．
（2）在（1）的條件下，f(x)=

1

3

x3-x2-3x，f′（x）=x²-2x-3，
令f′（x）=0，得x=-1或x=3，
由（1）知函數(shù)f（x）在x=-1和x=3處有極值．
又f（0）=0，f（3）=-9，f(4)=-

20

3

，
∴f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為f（0）=0．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，正確理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值的關(guān)系是解題關(guān)鍵．