Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱C₁C垂直于底面ABCD，且C₁C=2，點P是側棱C₁C的中點．
（1）求證：AC₁∥平面PBD；
（2）求證：A₁P⊥平面PBD；
（3）求三棱錐A₁-BDC₁的體積V．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接AC，AC∩BD=O，連接OC₁，則O是AC的中點，利用三角形的中位線的性質證明AC₁∥OP，即可證明AC₁∥平面PBD；
（2）依題意可得PB=

2

，A₁P=

3

，A₁B=

5

，滿足A₁P²+PB²=A₁B²，可得A₁P⊥PB，進而可得A₁P⊥PD，由線面垂直的判定定理可得結論；
（3）所求幾何體的體積等于四棱柱的體積減去四個體積相等的三棱錐的體積，由數(shù)據(jù)分別求得體積作差可得答案．

解答： （1）證明：連接AC，AC∩BD=O，連接OC₁，則O是AC的中點，
∵點P是側棱C₁C的中點，
∴AC₁∥OP，
∵AC₁?平面PBD，OP?平面PBD，
∴AC₁∥平面PBD；
（2）證明：CP=1，CB=1，在Rt△BCP中，PB=

2

，
同理可知，A₁P=

3

，A₁B=

5

所以A₁P²+PB²=A₁B²，則A₁P⊥PB，
同理可證，A₁P⊥PD，
由于PB∩PD=P，PB?平面PBD，PD?平面PBD，
∴A₁P⊥平面PBD．
（3）解：易知三棱錐A₁-BDC₁的體積等于四棱柱的體積減去四個體積相等的三棱錐的體積，
即AB×AD×A₁A-4×

1

3

×（

1

2

AB×AD）×A₁A=

1

3

×1×1×2=

2

3

．

點評：本題考查直線與平面、平行垂直的判定，涉及三棱錐體積的求解，屬中檔題．