Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n與通項a_n滿足S_n=

1

2

-

1

2

an．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+

1

bn

，求T₂₀₁₄；
（3）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n項和U_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列b_n的表達式，利用裂項法求T₂₀₁₄；
（3）求出c_n=a_n•f（a_n）的通項公式，利用錯位相減法求{c_n}的前n項和U_n．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=

1

3

，
當n≥2時，an=s_n-s_n-1
又S_n=

1

2

-

1

2

a_n
∴a_n=

1

3

a_n-1
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
（2）f（a_n）=log₃（

1

3

）ⁿ=-n，
則b_n=-1-2-3-…-n=-

n(n+1)

2

，
故

1

bn

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
又T_n=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-2（1-

1

n+1

），
∴T₂₀₁₄=-

4028

2015

．
（3）C_n=（-n）（

1

3

）ⁿ，
∴U_n=C₁+C₂+…C_n=-[1×（

1

3

）¹+2×（

1

3

）²+…+n•（

1

3

）ⁿ]
又

1

3

U_n=-[1×（

1

3

）²+2×（

1

3

）³+…+n（

1

3

）ⁿ⁺¹]
∴

2

3

U_n=-[（

1

3

）¹+（

1

3

）²+…-n（

1

3

）ⁿ⁺¹]
=-

1

2

+

1

2

（

1

3

）ⁿ+n（

1

3

）ⁿ⁺¹
∴U_n=-

3

4

+

3

4

（

1

3

）ⁿ+

3

2

n•（

1

3

）ⁿ⁺¹．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的計算，以及數(shù)列求和，要求熟練掌握數(shù)列求和的兩種方法：裂項法和錯位相減法．