Question

7．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+4≥0}\\{x+y-m≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示平面區(qū)域Ω，其中x，y是變量，m∈R，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+6y（0＜a＜6）的最大值為19，最小值為-6，則平面區(qū)域Ω的面積為（　�。�

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{25}{3}$
• C． $\frac{50}{3}$
• D． 25

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，先求出a=3，然后求出m，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+6y（0＜a＜6）得y=-$\frac{a}{6}$x+$\frac{z}{6}$，
則直線斜率-$\frac{a}{6}$∈（-1，0），
平移直線y=-$\frac{a}{6}$x+$\frac{z}{6}$，
由圖象知當(dāng)直線y=-$\frac{a}{6}$x+$\frac{z}{6}$經(jīng)過點A時，直線的截距最小，此時z最小，為-6，
經(jīng)過C點時，直線截距最大，此時z最大為19，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+4=0}\\{y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
即A（-2，0），
此時-2a+0=-6，
解得a=3，即目標(biāo)函數(shù)z=3x+6y，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y=19}\\{2x-y+4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，即C（$-\frac{1}{3}$，$\frac{10}{3}$），
同時C（$-\frac{1}{3}$，$\frac{10}{3}$），也在直線x+y-m=0上，
∴$-\frac{1}{3}$+$\frac{10}{3}$-m=0，解得m=3，
即直線為x+y-3=0，
當(dāng)y=0時，x=3，即B（3，0），
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}$×（3+2）×$\frac{10}{3}$=$\frac{25}{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．