Question

四位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)時，分別給出下面四個結(jié)論：
①函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；       
②函數(shù)f（x）的值域為 （-1，1）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則 fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．  
你認為上述四個結(jié)論中正確的有

②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及遞推關(guān)系對四個選項逐一判斷即可．

解答：解：∵f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），
∴函數(shù) f（x）為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點對稱，①錯誤；
對于②，當(dāng)x＞0時，f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈（0，1），
當(dāng)x＜0時，f（x）=

x

1+|x|

=

1

1-x

-1，
∵x＜0，
∴-x＞0，1-x＞1，
∴0＜

1

1-x

＜1，-1＜

1

1-x

-1＜0，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）∈（-1，0），
又f（0）=0，
∴函數(shù)f（x）的值域為 （-1，1），即②正確；
由②的分析可知，當(dāng)x＞0時，f（x）=1-

1

1+x

為單調(diào)函數(shù)，同理，當(dāng)x＜0時，f（x）=

x

1+|x|

=

1

1-x

-1也是單調(diào)函數(shù)，
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確；
對于④，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f₂（x）=f[f₁（x）]=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，
同理可求，f₃（x）=

x

1+3|x|

，…
∴f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

的性質(zhì)，考查分析問題與解決問題的能力，屬于難題