四位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)時(shí),分別給出下面四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
③f(x)是連續(xù)且遞增的函數(shù),但f(0)不存在;
④若規(guī)定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],則fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立,
上述四個(gè)結(jié)論中正確的是
①②④
①②④
分析:根據(jù)題意,利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及遞推關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.
解答:解:①當(dāng)x>0時(shí),f(x)=
x
1+x
=
1+x-1
1+x
=1-
1
1+x
,此時(shí)函數(shù)為增函數(shù),所以0<1-
1
1+x
<1
,即0<y<1.
當(dāng)x<0時(shí),f(x)=
x
1-x
=
(x-1)+1
1-x
=-1+
1
1-x
=-1-
1
x-1
,此時(shí)函數(shù)為增函數(shù),所以-1<-1+
1
1-x
<0
,即-1<y<0.
當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0.
綜上-1<f(x)<1,即函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1).所以①正確.
②由①知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x1≠x2時(shí),則一定有f(x1)≠f(x2),所以②正確.
③當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,所以③錯(cuò)誤.
④f1(x)=f(x)=
x
1+|x|
,f2(x)=f[f1(x)]=
x
1+2|x|
,同理可求,f3(x)=
x
1+3|x|
,由歸納推理可得fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立,
所以④正確.
故答案為:①②④.
點(diǎn)評(píng):本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
的性質(zhì),考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

四位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=-
x
1+|x|
(x∈R)時(shí),分別給出下面四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
②若x1,x2∈R且x1<x2<0,則一定有
f(x1)
x1
f(x2)
x2
;
③若x1,x2∈R且x1<x2,則一定有
f(x1)
x1
f(x2)
x2
;
④若集合M=[a,b],N={y|y=f(x),x∈M},則使M=N成立的有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)只有一個(gè).
則上述四個(gè)結(jié)論中正確的是( 。
A、①②B、①③C、①④D、②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

四位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
時(shí),分別給出下面四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);       
②函數(shù)f(x)的值域?yàn)?nbsp;(-1,1);
③若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
④若規(guī)定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],則 fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.  
你認(rèn)為上述四個(gè)結(jié)論中正確的有
②③④
②③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:廣東省汕頭市金山中學(xué)2010屆高三期中考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

四位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=(x∈R)時(shí),分別給出下面四個(gè)結(jié)論:

①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);

②函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-1,1);

③若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);

④若規(guī)定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],則fn(x)=對(duì)任意n∈N*恒成立.你認(rèn)為上述四個(gè)結(jié)論中正確的有________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

四位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
時(shí),分別給出下面四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);       
②函數(shù)f(x)的值域?yàn)?nbsp;(-1,1);
③若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
④若規(guī)定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],則 fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.  
你認(rèn)為上述四個(gè)結(jié)論中正確的有______.

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