【題目】已知橢圓E: 的焦點在x軸上,A是E的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA.
(1)當t=4,|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;
(2)當2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析: 方法一,求出,橢圓方程和頂點,設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程,求交點,運用弦長公式求得,由垂直的條件可得,再由,解得,運用三角形的面積公式可得的面積;
方法二:運用橢圓的對稱性,可得直線的斜率為,求得的方程代入橢圓方程,解方程可得, 的坐標,運用三角形的面積公式計算即可得到
直線的方程為,代入橢圓方程,求得交點,得, ,再由
,求出,再由橢圓的性質(zhì)可得,解不等式即可得到所求范圍。
解析:(1)方法一、t=4時,橢圓E的方程為+=1,A(﹣2,0),
直線AM的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,
解得x=﹣2或x=﹣,則|AM|=|2﹣|=,
由AN⊥AM,可得|AN|==,
由|AM|=|AN|,k>0,可得=,
整理可得(k﹣1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4=0無實根,可得k=1,
即有△AMN的面積為|AM|2=()2=;
方法二、由|AM|=|AN|,可得M,N關(guān)于x軸對稱,
由MA⊥NA.可得直線AM的斜率為1,直線AM的方程為y=x+2,
代入橢圓方程+=1,可得7x2+16x+4=0,
解得x=﹣2或﹣,M(﹣,),N(﹣,﹣),
則△AMN的面積為××(﹣+2)=;
(2)直線AM的方程為y=k(x+),代入橢圓方程,
可得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2﹣3t=0,
解得x=﹣或x=﹣,
即有|AM|=|﹣|=,
|AN|═=,
由2|AM|=|AN|,可得2=,整理得t=,
由橢圓的焦點在x軸上,則t>3,即有>3,即有<0,
可得<k<2,即k的取值范圍是(,2).
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【題目】已知橢圓的右頂點與拋物線的焦點重合,橢圓的離心率為,過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)過點的直線與交于兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,證明:直線恒過一定點.
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【題目】已知函數(shù), ,其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性.
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使對任意恒成立?若存在,試求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了凈化空氣,某科研單位根據(jù)實驗得出,在一定范圍內(nèi),每噴灑1個單位的凈化劑,空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時間x(單位:天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y= 若多次噴灑,則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實驗知,當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時,它才能起到凈化空氣的作用.
(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑,則凈化時間可達幾天?
(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑,6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化,試求a的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù): 取1.4).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m.經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60 m處,點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.
(1)求新橋BC的長;
(2)當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面是直角梯形, , , ,平面平面.
(Ⅰ)求證: 平面.
(Ⅱ)求平面和平面所成二面角(小于)的大。
(Ⅲ)在棱上是否存在點使得平面?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·貴州適應(yīng)性考試)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點P是線段A1C1上的動點,則三棱錐PBCD 的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為( )
A. 1 B.
C. D. 2
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線的極坐標方程,并說明其表示什么軌跡;
(2)若直線的極坐標方程為,求直線被曲線截得的弦長.
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