Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與點(diǎn)F（

1

2

，0）的距離和它到直線l：x=-

1

2

的距離相等，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C₁．
（1）求曲線C₁的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B、C在y軸上，PB，PC分別與圓（x-1）²+y²=1相切于兩點(diǎn)E，G．
（I）當(dāng)y₀=4時(shí)，求|EG|；
（Ⅱ）當(dāng)x₀＞2時(shí)，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，由已知列距離等式，代入坐標(biāo)后整理得答案；
（2）（Ⅰ）求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出以P和圓（x-1）²+y²=1的圓心連線為直徑的圓，兩圓方程作差求出過兩切點(diǎn)的直線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出已知圓心到過兩切點(diǎn)直線方程的距離，由圓的半徑、弦心距和半弦長的關(guān)系求解|EG|；
（Ⅱ）設(shè)出B，C的坐標(biāo)，求出直線BC的方程，由已知圓的圓心到直線的距離等于圓的半徑得到(x0-2)b2+2y0b-x0=0，同理得到(x0-2)c2+2y0c-x0=0．說明b，c是方程
(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩根．由求根公式求出b，c的值，作差后得到b-c，代入三角形的面積公式后利用基本不等式求△PBC面積的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題意可知，|MF|=|x+

1

2

|，
即

(x- 1 2 )2+y2

=|x+

1

2

|，
化簡得：y²=2x．
∴曲線C₁的方程為y²=2x．
（2）（Ⅰ）當(dāng)y₀=4時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，4），
如圖，設(shè)圓（x-1）²+y²=1的圓心為I（1，0），
過P作圓I的兩條切線分別切圓與E，G兩點(diǎn)，
∴E，G兩點(diǎn)都在以線段PI為直徑的圓上．
由

PG

•

GI

=0，得以PI為直徑的圓的方程是（x-1）（x-8）+y（y-4）=0．
而EG是圓（x-1）²+y²=1及圓（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦．
兩圓相減得EG的方程：7x+4y-8=0．
圓心I（1，0）到直線7x+4y-8=0的距離是d=

|7-8|

72+42

=

1

65

．
∴|EG|=2

r2-d2

=2

1- 1 65

=

16

65

=

16

65

65

；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨設(shè)b＞c，
直線PB的方程：y-b=

y0-b

x0

x，化簡得：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
又圓心（1，0）到PB的距離為1，則

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
故(y0-b)2+x02=(y0-b)2+2x0b(y0-b)+x02b2，
∵x₀＞2，上式化簡得(x0-2)b2+2y0b-x0=0．
同理有(x0-2)c2+2y0c-x0=0．
∴b，c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩根．
由求根公式得：x=

-2y0± (2y0)2-4(x0-2)(-x0)

2(x0-2)

=

-y0± x02+y02-2x0

x0-2

．
從而(b-c)2=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

．
∵P（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，有y02=2x0，
則(b-c)2=

4x02

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

．
∴S△PBC=

1

2

(b-c)x0=

x0

x0-2

•x0=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥8．
當(dāng)(x0-2)2=4時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)x0=4，y0=±2

2

．
因此S_△PBC的最小值為8．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識(shí)點(diǎn)．考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是壓軸題．