已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)>0在(0,
1
2
)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問(wèn)題
專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)將a=1代入函數(shù)的表達(dá)式,求出導(dǎo)函數(shù),解不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)>0在(0,
1
2
)內(nèi)恒成立,即對(duì)x∈(0,
1
2
),a>2-
2lnx
x-1
恒成立,令l(x)=2-
2lnx
x-1
,則l′(x)=
2lnx+
2
x
-2
(x-1)2
,得l(x)在(0,
1
2
)遞增,從而求出a的范圍.
解答: 解:(1)a=1時(shí):f(x)=x-1-2lnx,
∴f′(x)=1-
2
x
,
令f′(x)>0,解得:x>2,
令f′(x)<0,解得:0<x<2,
∴f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增;
(2)若函數(shù)f(x)>0在(0,
1
2
)內(nèi)恒成立,
即對(duì)x∈(0,
1
2
),a>2-
2lnx
x-1
恒成立,
令l(x)=2-
2lnx
x-1
,則l′(x)=
2lnx+
2
x
-2
(x-1)2
,
令m(x)=2lnx+
2
x
-2,x∈(0,
1
2
),
則m′(x)=
-2(1-x)
x2
<0,
∴m(x)在(0,
1
2
)遞減,
∴m(x)>m(
1
2
)=2-2ln2>0,
∴l(xiāng)′(x)>0,
∴l(xiāng)(x)在(0,
1
2
)遞增,
∴要使a>2-
2lnx
x-1
恒成立,
只需a∈[2-4ln2,+∞).
a≥2-4ln2;
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,求參數(shù)的范圍,是一道中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<
π
2
)的振幅為2,最小正周期為π,且f(x)≤f(
π
6
)對(duì)?x∈R恒成立.
(Ι)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其單調(diào)遞增區(qū)間.
(Ⅱ)若f(
α
2
)=-
2
3
,α∈(0,π),求cosα的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直線y=x被曲線2x2+y2=2截得的弦長(zhǎng)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{2n-1•an}的前n項(xiàng)和Sn=9-6n.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=n•(3-log2
|an|
3
),設(shè)數(shù)列{
1
bn
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求使Tn
m
6
恒成立的m的最小整數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知
OA
=
a
+
b
+2
c
OB
=2
a
-
b
+
c
,
OC
=2
a
+3
b
+2
c
OD
=5
a
-3
b
-
c
,其中
.
a
,
b
c
三向量不共面.試判斷A,B,C,D四點(diǎn)是否共面?
(2)設(shè)
a1
=2
i
-
j
+
k
,
a2
=
i
+3
j
-2
k
,
a3
=-2
i
+
j
-3
k
a4
=3
i
+2
j
+5
k
.試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ,μ,v,使
a4
a1
+μ
a2
+v
a3
成立?如果存在,求出λ,μ,v;如果不存在,請(qǐng)給出理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一個(gè)扇形的圓心角為
π
3
弧度,它的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為3,則這個(gè)扇形的面積為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求下列函數(shù)的值域:
(1)y=x+
5
x
(x≥1);
(2)y=x+
5
x
(x≤-3).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20,則最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f′(1)=1,則當(dāng)d→0時(shí),
f(1+d)-f(1)
d
 
.(用數(shù)字作答)

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