Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．

（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若f（x）在區(qū)間（﹣∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x∈[1，a+1]，總有f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=2（2）a≥3

【解析】試題分析：（1）由對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定最值取法，得方程組，解得實(shí)數(shù)a的值；（2）由二次函數(shù)單調(diào)性得a≥2，再根據(jù)二次函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化不等式恒成立條件，解對(duì)應(yīng)不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

試題解析：解：（1）∵f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2（a＞1），

∴f（x）在[1，a]上是減函數(shù)，

又定義域和值域均為[1，a]，

∴，即，解得 a=2．

（2）∵f（x）在區(qū)間（﹣∞，2]上是減函數(shù)，

∴a≥2，

又∵對(duì)任意的x∈[1，a+1]，總有f（x）≤0，

∴，即

解得：a≥3，

綜上所述，a≥3