Question

一個袋中裝有形狀大小完全相同的球9個，其中紅球3個，白球6個，每次隨機(jī)取1個，直到取出3次紅球即停止．
（Ⅰ）從袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P₁；
（Ⅱ）從袋中有放回地取球．
①求恰好取5次停止的概率P₂；
②記5次之內(nèi)（含5次）取到紅球的個數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,排列、組合及簡單計數(shù)問題

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用古典概型的概率計算公式能求出恰好取4次停止的概率P₁．
（Ⅱ）①利用n次獨立重復(fù)試驗概率公式能求出恰好取5次停止的概率P₂．
②由題意知隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）恰好取4次停止的概率：
P₁=（

6

9

×

3

8

×

2

7

+

3

9

×

6

8

×

2

7

+

3

9

×

2

8

×

6

7

）×

1

6

=

1

28

．
（Ⅱ）①恰好取5次停止的概率P₂=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

．
②由題意知隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，
由n次獨立重復(fù)試驗概率公式P_n（k）=

C

k n

pk(1-p)n-k，得
P（ξ=0）=

C

0 5

×(1-

1

3

)5=

32

243

，
P（ξ=1）=

C

1 5

×

1

3

×(1-

1

3

)4=

80

243

，
P（ξ=2）=

C

2 5

×(

1

3

)2(1-

1

3

)3 =

80

243

，
ξ=3這個事件包括了三種情況，第一種取三次取到全是紅球，第二種取四次取到三次紅球，此時，第四次一定取到紅球，前三次兩次取到紅球，第三種取五次取到三個紅球，第五次取到的是紅球，前四次取到兩次紅球，故有
P（ξ=3）=(

1

3

)3+

C

1 3

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)+

C

2 4

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)2=

51

243

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	80 243	51 243

∴Eξ=0×

32

243

+1×

80

243

+2×

80

243

+3×

51

243

=

131

81

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意n次獨立重復(fù)試驗概率公式的靈活運用．