Question

△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知acosB+bcosA+2ccosC=0，則cosA-cosB的值的范圍是

 

．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用正弦定理把a，b，c轉(zhuǎn)化成角的正弦，然后利用兩角和公式化簡進而求得cosA的值，求得A，然后對cosA-cosB進行和差化積，整理可得關于sin

A-B

2

的表達式，根據(jù)A，
B的范圍求得答案．

解答： 解：∵acosB+bcosA+2ccosC=0，
∴sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosC
∴sin（A+B）=-2sinCcosC，
∴sinC=-2sinCcosC，
∵sinC≠0
∴cosC=-

1

2

∴∠C=

2π

3

，
∴∠A+∠B=

π

3

∴cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

=-sin

A-B

2

，
∵∠A+∠B=

π

3

∴0＜∠A＜

π

3

，0＜∠B＜

π

3

，
∴-

π

3

＜∠A-∠B＜

π

3

∴-

3

2

＜sin

A-B

2

＜

3

2

，
∴-

3

2

＜-sin

A-B

2

＜

3

2

，
即cosA-cosB的范圍為（-

3

2

，

3

2

）．
故答案為：（-

3

2

，

3

2

）

點評：本題主要考查了正弦定理的運用．解題的關鍵是利用正弦定理把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．