Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx-a²，x∈R，a，b為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極大值-14，求實數(shù)a，b的值；
（2）若a=0，方程f（x）=2恰有3個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若b=0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上有最大值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，由極值點是f′（x）=3x²-2ax-b=0的根及極值是在x=1時函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx-a²的值，列出方程組求得；
（2）把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性問題，利用導(dǎo)數(shù)解決即可，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，則方程g（x）=0恰有3個不相等的實數(shù)解，判斷g（x）的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)，列出不等式求得b的范圍；
（3）由f′（x）=3x²-2ax=3x（x-

2a

3

）得，若f（x）在（-∞，-1）上有最大值，即有

2a 3 ＜-1 a＜0

  解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-bx-a²，
∴f′（x）=3x²-2ax-b，
∴由函數(shù)f（x）在x=1處有極大值-14得，

3-2a-b=0 1-a-b-a2=-14

 解得

a=4 b=-5

或

a=-3 b=9

，
當(dāng)

a=-3 b=9

時，不滿足f（x）在x=1處有極大值，故舍去，∴

a=4 b=-5

．---------（5分）
（2）由f（x）=2，得f（x）-2=0，
令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，則方程g（x）=0恰有3個不相等的實數(shù)解．
∵g’（x）=3x²-b，----------（7分）
（ⅰ）若b≤0，則g’（x）≥0恒成立，且函數(shù)g（x）不為常函數(shù)，∴g（x）在區(qū)間[-4，4]上為增函數(shù)，不合題意，舍去．
（ⅱ）若b＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，-

b 3

）上為增函數(shù)，在區(qū)間（--

b 3

，

b 3

）上為減函數(shù)，在區(qū)間（

b 3

，+∞）上為增函數(shù)，
由方程g（x）=0恰有3個不相等的實數(shù)解，----------（10分）
可得

g(- b 3 )＞0 g( b 3 )＜0

⇒b＞3．---（16分）
（3）當(dāng)b=0時，f（x）=x³-ax²-a²，∴f′（x）=3x²-2ax=3x（x-

2a

3

），
若f（x）在（-∞，-1）上有最大值，則

2a 3 ＜-1 a＜0

  即a＜-

3

2

．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，解題時注意對字母的討論及問題的等價轉(zhuǎn)化，考查對分類討論思想、轉(zhuǎn)化劃歸思想的運用，屬難題．