Question

在數(shù)列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=k（n≥2，n∈N^*，k為常數(shù)），則稱{a_n}為X數(shù)列．
（Ⅰ）若數(shù)列{b_n}是X數(shù)列，b₁=1，b₂=3，寫出所有滿足條件的數(shù)列{b_n}的前4項；
（Ⅱ）證明：一個等比數(shù)列為X數(shù)列的充要條件是公比為1或-1；
（Ⅲ）若X數(shù)列{c_n}滿足c₁=2，c₂=2

2

，c_n＞0，設(shè)數(shù)列{

1

cn

}的前n項和為T_n．是否存在正整數(shù)p，q，使不等式T_n＞

pn+q

-1對一切n∈N^*都成立？若存在，求出P，q的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)新定義數(shù)列，求出新數(shù)列滿足的條件，得到數(shù)列的前幾項；（Ⅱ）充要條件問題，要利用新定義數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，分充分性和必要性兩方面去證明；（Ⅲ）通過放縮后求和，再根據(jù)恒成立問題的特征，取n為1，先求出參數(shù)的值，再加以證明．

解答： 解：（Ⅰ）由{b_n}是X數(shù)列，b₁=1，b₂=3，有d=3²-1²=8，
于是b32=1+(3-1)×8=17，b42=1+(4-1)×8=25．
所有滿足條件的數(shù)列{b_n}的前4項為：
1，3，

17

，5；1，3，

17

，-5；1，3，-

17

，5；1，3，-

17

，-5．
（Ⅱ）（必要性）設(shè)數(shù)列a_n是等比數(shù)列，an=a1qn-1（q為公比且q≠0），
則an2=a12q2n-2，若{a_n}為X數(shù)列，則有
an2-an-12=a12q2n-2-a12q2n-4=a12q2n-4(q2-1)=k（k為與n無關(guān)的常數(shù)）
所以q²=1，q=1或q=-1．
（充分性）若一個等比數(shù)列{a_n}的公比q=1，則a_n=a₁，an2-an-12=0，
所以{a_n} 為X數(shù)列；
若一個等比數(shù)列{a_n}的公比q=-1，則an=a1(-1)n-1，
an2-an-12=a12(-1)2n-2-a12(-1)2n-4=0，
所以{a_n}為X數(shù)列．
（Ⅲ）因X數(shù)列{a_n}中a1=2，a2=2

2

，a_n＞0，則
an2=a12+(n-1)d=4+4(n-1)=4n，
∴an=2

n

，
所以數(shù)列{

1

an

}的前n項和Tn=

1

2

(

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．
假設(shè)存在正整數(shù)p，q使不等式

1

2

(

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)＞

pn+q

-1對一
切n∈N^*都成立．即

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2(

pn+q

-1)．
當(dāng)n=1時，1＞2(

p+q

-1)，∴p+q＜

9

4

．
又p，q為正整數(shù)，
∴p=q=1．
下面證明：

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2(

n+1

-1)對一切n∈N^*都成立．
由于

1

n

=

2

n + n

＞

2

n+1 + n

=2(

n+1

-

n

)（n∈N^*）
所以

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2(

2

-

1

)+2(

3

-

2

)+…+2(

n+1

-

n

)=2(

n+1

-1)．
故存在正整數(shù)p=1，q=1，使不等式T_n＞

pn+q

-1對一切n∈N^*都成立．

點評：本題考查了數(shù)列的知識，有新定義的數(shù)列，用到了等比數(shù)列、等差數(shù)列、數(shù)列通項、數(shù)列求和、放縮法等知識，計算容量較大，思維質(zhì)量高，屬于難題．