已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是
2
、
3
、
6
，這個長方體的對角線長為
6
6
；它的外接圓的體積為
6
π
6
π
．
分析：由題意設三個邊的長分別是a，b，c，則有ab=
2?
，bc=
3?
，ca=
6?
，由此求出a，b，c的值，由公式求出對角線的長，再利用對角線長即為它的外接球的直徑求出半徑后得到體積即可．
解答：解：可設長方體同一個頂點上的三條棱長分別為a，b，c，
列出方程組
ab=
2
bc=
3
ac=
6
，
解得
a=
2
b=1
c=
3

故長方體的對角線長是
1+2+3
=
6

∵對角線長即為它的外接球的直徑求出半徑，
∴它的外接球的半徑為
6
2
，
它的外接球的體積為V=
4
3
π×R3=
4
3
×π×(
6
2
)3=
6
π．
故答案為
6
；
6
π．
點評：本題考點是棱柱的結構特征，考查根據(jù)題目中所給的條件求出三個棱長的長度，再由球體的體積公式求出體積的能力，本題直接利用公式建立方程求解，題目較易．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是
2
、
3
、
6
，這個長方體的對角線長是
6
6
；若長方體的共頂點的三個側面面積分別為3，5，15，則它的體積為
15
15
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是、、，這個  長方體的對角線長是___________；若長方體的共頂點的三個側面面積分別為，則它的體積___________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是、、，這個  長方體的對角線長是___________；若長方體的共頂點的三個側面面積分別為，則它的體積為___________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是
2
、
3
、
6
，這個長方體的對角線長為______；它的外接圓的體積為______．

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