Question

給出下列5個命題：
①函數(shù)f（x）=-sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=tanx的圖象關(guān)于點（kπ+

π

2

，0）（k∈Z）對稱；
③函數(shù)f（x）=sin|x|是最小正周期為π的周期函數(shù)；
④設(shè)θ是第二象限角，則tan

θ

2

＞cot

θ

2

，且sin

θ

2

＞cos

θ

2

；
⑤函數(shù)y=cos²x+sinx的最小值是-1．
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①運用誘導(dǎo)公式和函數(shù)的奇偶性，即可判斷；②由正切函數(shù)的圖象的對稱性，即可判斷；
③可舉反例，取x=

π

2

，則驗證f（x+π）=f（x）是否成立；
④設(shè)θ是第二象限角，比如θ=

8π

3

，

θ

2

=

4π

3

，分別求出正弦、余弦、正切、余切值，即可判斷；
⑤化簡函數(shù)配方為y=-（sinx-

1

2

）²+

1

4

，通過sinx∈[-1，1]，求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：①k為偶數(shù)時，f（x）=-sinx；k為奇數(shù)時，f（x）=sinx，不管怎樣，都有f（-x）=-f（x），
函數(shù)是奇函數(shù)，故①對；
②由正切函數(shù)的圖象，可知對稱中心為（kπ，0），（kπ+

π

2

，0）（k為整數(shù)），故②對；
③若函數(shù)f（x）=sin|x|最小正周期為π的周期函數(shù)，則f（x+π）=f（x），取x=

π

2

，則
f（

3π

2

）=sin（

3π

2

）=-1，f（

π

2

）=1，矛盾，故③錯；
④設(shè)θ是第二象限角，比如θ=

8π

3

，

θ

2

=

4π

3

，則tan

4π

3

=

3

，cot

4π

3

=

3

3

，sin

4π

3

=-

3

2

，
cos

4π

3

=-

1

2

，則tan

θ

2

＞cot

θ

2

，且sin

θ

2

＜cos

θ

2

，故④錯；
⑤函數(shù)y=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，當(dāng)sinx=-1時，y的最小值為-1，
故⑤對．
故答案為：①②⑤．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性，及最值，考查三角函數(shù)的化簡和求值，屬于中檔題．