Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a₁=1，a_n+1=2S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=9na_2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2S₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，推導(dǎo)出a_n+1=3a_n，由此能求出an=

1，n=1 2×3n-2，n≥2

．
（2）由b_n=9na_2n=2n×9ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

an+1

2

-

an

2

，
得a_n+1=3a_n
所以a₂，a₃，…，a_n，…為等比數(shù)列，
an=2×3n-2(n≥2)．
故an=

1，n=1 2×3n-2，n≥2

（2）∵b_n=9na_2n=2n×9ⁿ，
∴Tn=2[1×9+2×92+…+n×9n]，
9Tn=2[1×92+2×93+…+n×9n+1]，
兩式相減，得：-8Tn=2[(9+92+…+9n)-n×9n+1]
=2[

9-9n+1

1-9

-n×9n+1]
=

(1-8n)9n+1-9

4

，
故Tn=

(8n-1)9n+1+9

32

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．