Question

【題目】已知拋物線(xiàn)，、、為拋物線(xiàn)上不同的三點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，若直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)且斜率為，求直線(xiàn)、斜率之積；

（2）若為以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)、，可得出直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，然后利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可計(jì)算出直線(xiàn)、斜率之積；

（2）設(shè)點(diǎn)、、，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，不妨設(shè)，可得出直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出，同理得出，再由得出，然后利用三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式求出面積的最小值.

（1）設(shè)點(diǎn)、，則，

直線(xiàn)的斜率為，同理，直線(xiàn)的斜率為.

拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

直線(xiàn)的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為，

將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，得，

，由韋達(dá)定理得，.

因此，直線(xiàn)、斜率之積為；

（2）設(shè)點(diǎn)、、，

設(shè)直線(xiàn)的斜率為，不妨設(shè)，則直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，消去得，

由韋達(dá)定理得，，，同理可得，

，同理可得，

由題中圖象可知，與符號(hào)相反，

由得，則，

化簡(jiǎn)得，

故的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

因此，面積的最小值為.