【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,設(shè)底面ABCD是邊長為1的正方形,PA⊥面ABCD.

(1)求證:PC⊥BD;
(2)過BD且與直線PC垂直的平面與PC交于點E,當(dāng)三棱錐E﹣BCD的體積最大時,求二面角E﹣BD﹣C的大小.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC,PA⊥平面ABCD,

由此推出PA⊥BD,

又AC∩PA=A,

∴BD⊥平面PAC,而PC平面PAC,所以推出PC⊥BD


(2)解:設(shè)PA=x,三棱錐E﹣BCD的底面積為定值,求得它的高 ,

當(dāng) ,即 時,h最大值為 ,三棱錐E﹣BCD的體積達到最大值為

以點A為坐標(biāo)原點,AB為x軸,AD為y軸,PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 ,令E(x,y,z), ,得 ,∴ ,

設(shè) 是平面EBD的一個法向量, ,

,得

是平面BCD的一個法向量,

,∴二面角E﹣BD﹣C為


【解析】(1)證明BD⊥AC,PA⊥BD,即可證明BD⊥平面PAC,然后推出PC⊥BD.(2)設(shè)PA=x,三棱錐E﹣BCD的底面積為定值,求得它的高 ,求出三棱錐E﹣BCD的體積的最大值,以點A為坐標(biāo)原點,AB為x軸,AD為y軸,PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面EBD的一個法向量,平面BCD的一個法向量,利用向量的數(shù)量積求解即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì),需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如下:

公司對近60天,每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表:

以上數(shù)據(jù)已做近似處理,并將頻率視為概率.

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(2)①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值;

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支持

不支持

合計

男性

女性

合計

(1)完成列聯(lián)表

(2)判斷是否有的把握認(rèn)為性別與支持有關(guān)?

附:.

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