Question

已知點P（2，0）及橢圓C：x²+16y²=16．
（Ⅰ）過點P的直線l₁與橢圓交于M、N兩點，且|MN|=

3

，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線kx-y+1=0與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)k，使得過點P的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)|MN|=

3

時，直線垂直于x軸，此時MN的中點為P，由此能求出圓的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

kx-y+1=0 x2+16y2=16

，得（16k²+1）x²+32kx=0，解方程得到A（0，1），B（

-32k

16k2+1

，

-16k2+1

16k2+1

），由此利用

PM

⊥

AB

，求出不存在實數(shù)k，使得過點P的直線l₂垂直平分弦AB．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓方程化為

x2

16

+y2=1，
∵P（2，0）在橢圓內(nèi)部，∴過P的直線與橢圓總是交于兩點M，N，
當(dāng)|MN|=

3

時，直線垂直于x軸，此時MN的中點為P，
圓Q的中心為P（2，0），半徑為r=

3

2

，
∴所求圓的方程為（x-2）²+y²=

3

4

．
（Ⅱ）聯(lián)立

kx-y+1=0 x2+16y2=16

，
消去y，并整理，得（16k²+1）x²+32kx=0，
解得

x=0 y=1

，或

x=- 32k 16k2+1 y= -16k2+1 16k2+1

，
∴A（0，1），B（

-32k

16k2+1

，

-16k2+1

16k2+1

），
∴AB的中點M（

-16k

16k2+1

，

1

16k2+1

），
∴

PM

=(

-32k2-16k-2

16k2+1

，

1

16k2+1

)，

AB

=（

-32k

16k2+1

，

-32k2

16k2+1

），
∵

PM

⊥

AB

，∴k=0，或32k²+15k+2=0，
∴k=0，
當(dāng)k=0時，A，B兩點重合，這矛盾，
∴不存在實數(shù)k，使得過點P的直線l₂垂直平分弦AB．

點評：本題考查圓的方程的求法，考劃滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．