已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為拋物線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為1，|AF|=
5
4
．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)B，C為拋物線上不同于A的兩點(diǎn)，且AB⊥AC，過B，C兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，記兩切線的交點(diǎn)為D，求|OD|的最小值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由點(diǎn)A為拋物線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為1，|AF|=
5
4
，根據(jù)拋物線的定義，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）求出B、C處的切線方程，聯(lián)立求出D的坐標(biāo)，結(jié)合A（1，1）且AB⊥AC，求出|OD|，即可求出|OD|的最小值．
解答： 解：（Ⅰ）由拋物線定義得：|AF|=yA+
p
2
，
∴
p
2
+1=
5
4
，
∴p=
1
2
------（2分）
∴拋物線方程為x2=y------（4分）
（Ⅱ）設(shè)B(x1，
x
2
1
)，C(x2，
x
2
2
)，則
∵A（1，1）且AB⊥AC，
∴
x
2
2
-1
x
 
2
-1
•
x
2
1
-1
x
 
1
-1
=-1
即（x1+x2）+x1•x2=-2------（6分）
又∵y′=2x，∴B、C處的切線的斜率為k1=2x1，k2=2x2，
∴B、C處的切線方程為y-
x
2
1
=2x1(x-x1)和y-
x
2
2
=2x2(x-x2)
由
y-
x
2
1
=2x1(x-x1)
y-
x
2
2
=2x2(x-x2)
得D(
x1+x2
2
，x1x2)------（8分）
設(shè)x1x2=t，由（x1+x2）+x1•x2=-2得
x1+x2
2
=-1-
t
2
，
∴|OD|2=(-1-
t
2
)2+t2=
5
4
t2+t+1------（10分）
當(dāng)t=-
2
5
時(shí)，|OD|2min=
4
5
，
∴|OD|min=
2
5
5
------（12分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義與方程，考查拋物線的切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)(
3
，-
3
2
)，且橢圓的離心率e=
1
2
，過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)A、B及C、D．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值；
（Ⅲ）求|AB|+
9
16
|CD|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=2，過點(diǎn)D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（2，0）及橢圓C：x2+16y2=16．
（Ⅰ）過點(diǎn)P的直線l1與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
3
，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線kx-y+1=0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得過點(diǎn)P的直線l2垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，AB=AC=2
10
，BC=4，PC=2
11
，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影恰為△ABC的重心G，M為側(cè)棱AP上一動點(diǎn)．
（1）求證：平面PAG⊥平面BCM；
（2）當(dāng)M為AP的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sinx．
（Ⅰ）令f1(x)=f′(x)，fn+1(x)=
f
′
n
(x)，(n∈N*)，求f2014（x）的解析式； 
（Ⅱ）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：f(
π
2n+1
)+f(
2π
2n+1
)+…+f(
(n+1)π
2n+1
)≥
3
2
(n+1)
4(2n+1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E．
（Ⅰ）求證AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有以下四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=sin（
π
3
-2x）的一個(gè)增區(qū)間是[
5π
12
，
11π
12
]；
②函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）為奇函數(shù)，則φ為π的整數(shù)倍；
③對于函數(shù)f（x）=tan（2x+
π
3
），若f（x1）=f（x2），則x1-x2必是π的整數(shù)倍；
④y=|sinx|最小正周期為π；
其中正確的命題是
 
．（填上正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知變量x，y滿足約束條件
y-1≤0
x+y≥0
x-y-2≤0
，則z=x+2y的最大值為（　　）
A、6B、5C、4D、3

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