Question

已知：集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f（x）=

1

x

是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=lg

a

x2+1

∈M，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：函數(shù)f（x）=2^x+x²∈M．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：綜合題,集合

分析：（1）集合M中元素的性質(zhì)，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函數(shù)解析式列出方程，進(jìn)行求解，若無解則此函數(shù)不是M的元素，若有解則此函數(shù)是M的元素；
（2）根據(jù)f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求出關(guān)于a的方程，再根據(jù)方程有解的條件求出a的取值范圍，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，考慮是否為零的情況；
（3）根據(jù)定義只要證明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性判定理進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）f（x）=

1

x

的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
令

1

x+1

=

1

x

+1，整理得x²+x+1=0，△=-3＜0，
因此，不存在x∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，
所以f（x）=

1

x

∉M；    （4分）
（2）f（x）=lg

a

x2+1

的定義域?yàn)镽，f（1）=lg

a

2

，a＞0，
若f（x）=lg

a

x2+1

∈M，則存在x∈R使得lg

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

，
整理得存在x∈R使得（a²-2a）x²+2a²x+（2a²-2a）=0．
①若a²-2a=0即a=2時(shí)，方程化為8x+4=0，解得x=-

1

2

，滿足條件：
②若a²-2a≠0即a∈（-∞，2）∪（2，+∞）時(shí)，
令△≥0，解得a∈[3-

5

，2）∪（2，3+

5

]，
綜上，a∈[3-

5

，3+

5

]；  （8分）
（3）f（x）=2^x+x²的定義域?yàn)镽，
令2^x+1+（x+1）²=（2^x+x²）+（2+1），整理得2^x+2x-2=0，
令g（x）=2^x+2x-2，所以g（0）•g（1）=-2＜0，
即存在x₀∈（0，1）使得g（x）=2^x+2x-2=0，
亦即存在x₀∈R使得2^x+1+（x+1）²=（2^x+x²）+（2+1），
故f（x）=2^x+x²∈M． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是元素與集合的關(guān)系，此題的集合中的元素是集合，主要利用了元素滿足的恒等式進(jìn)行求解，根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的元素性質(zhì)進(jìn)行化簡，考查了邏輯思維能力和分析、解決問題的能力．