Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（0，2），且在x軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為4．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)A（0，2）作一條直線與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過E，F(xiàn)分別作曲線C的切線，兩切線交于P點(diǎn)，當(dāng)|PE|•|PF|最小時(shí)，求直線EF的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)圓心為C（x，y），線段MN的中點(diǎn)為E，依題意得|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，由此能求出動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程．
（2）設(shè)E（x1，

x12

4

），F(xiàn)（x2，

x22

4

），由A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得到x₁x₂=-8，由已知條件利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，-2），由此能求出|PE|•|OF|當(dāng)且僅當(dāng)x₂=-x₁時(shí)取最小值，從而能求出直線EF方程為y=2．

解答： 解：（1）設(shè)圓心為C（x，y），線段MN的中點(diǎn)為E，則|ME|=

|MN|

2

，
依題意得|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴x²+（y-2）²=2²+y²，整理，得x²=4y，
∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為x²=4y．
（2）設(shè)E（x1，

x12

4

），F(xiàn)（x2，

x22

4

），
由A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得

x22 4 -2

x2

=

x12 4 -2

x1

，∴x₁x₂=-8，
由x²=4y，得y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴PE的方程為y=

x12

4

=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1

2

x-

1

4

x12．
同理PF的方程為y=

x2

2

x-

1

4

x22，
解得P點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），即（

x1+x2

2

，-2），
∴|PE|=

1+ x12 4

•|

x1+x2

2

-x1|=

(x2-x1)• 4+x12

4

，
∴|PE|•|OF|=

(x2-x1)2• 16+4(x12+x22)+x12•x22

16

=

(x12+x22+16)• 16+4(x12+x22)+x12x22

16

=

(x12+x22+16)• 16+4(x12+x22)+64

16

=

(x12+x22+16)• 20+(x12+x22)

8

≥

(2|x1x2|+16)• 20+2|x1x2|

8

=24，
當(dāng)且僅當(dāng)x₂=-x₁時(shí)，上式取等號(hào)，
此時(shí)EF的斜率為0，所求直線EF方程為y=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)圓圓心的軌跡方程的求法，考查考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．