Question

（文）已知函數(shù)f（x）=||x-1|-1|，若關(guān)于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂、x₃、x₄（x₁＜x₂＜x₃＜x₄），則x₁+x₂+x₃•x₄的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)方程f（x）=t（t∈R）恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，用t表示出四個(gè)根，然后計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答： 解：由||x-1|-1|=t，
則t≥0，
即|x-1|-1=±t，|x-1|=1±t；
∴1+t≥0且1-t≥0，
解得0≤t≤1；
∵關(guān)于x的方程f（x）=t（t為實(shí)數(shù)）恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂、x₃、x₄，
∴0＜t＜1，
這四個(gè)根是x₁=-t，x₂=t，x₃=2-t，x₄=2+t，
則x₁+x₂+x₃•x₄=-t+t+（2-t）（2+t）=4-t²，
∵0＜t＜1，
∴3＜4-t²＜4，
即x₁+x₂+x₃•x₄的取值范圍是（3，4），
故答案為：（3，4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，確定四個(gè)根之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．