Question

設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：（2-

3

+i）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項(xiàng)，求|z|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模

專題：計(jì)算題,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：設(shè)z=x+yi（x，y∈R），由（2-

3

+i）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，得y=

3

x①，由|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項(xiàng)，得|z-1|²=|z||z-2|，即（x-1）²+y²=

x2+y2

•

(x-2)2+y2

②，聯(lián)立①②可求得z，進(jìn)而可求|z|．

解答： 解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R），
則（2-

3

+i）z=（2-

3

+i）（x+yi）=（2-

3

）x-y+[（2-

3

）y+x]i，
∵：（2-

3

+i）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，
∴（2-

3

）x-y+（2-

3

）y+x=0，化簡(jiǎn)得y=

3

x①，
∵|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項(xiàng)，
∴|z-1|²=|z||z-2|，即（x-1）²+y²=

x2+y2

•

(x-2)2+y2

②，
聯(lián)立①②解得，

x= -1+ 2 2 y= - 3 + 6 2

或

x= -1- 2 2 y= - 3 - 6 2

，
∴|z|=

( -1+ 2 2 )2+( - 3 + 6 2 )2

=

2

-1或

( -1- 2 2 )2+( - 3 - 6 2 )2

=

2

+1，
故答案為：

2

-1或

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：該題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬基礎(chǔ)題．