Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x²+（2-a）x（a＞0）．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在線x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的最大值是

1

2

，求a的值；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）+2（a-1）x，若y=g（x）在區(qū)間（0，2）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，進一步求得f（1）與f′（1），代入直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點的定義域分段，根據導函數(shù)在各區(qū)間段內的符號判斷原函數(shù)的單調性，從而求得原函數(shù)的最值，由函數(shù)f（x）的最大值是

1

2

列式求a的值；
（Ⅲ）把f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+2（a-1）x，求出g（x）的導函數(shù)，把y=g（x）在區(qū)間（0，2）上不單調轉化為g′（x）=0在（0，2）上存在實數(shù)解且無重根，由導函數(shù)的圖象可知導函數(shù)在（0，2）上單增且g′（0）0求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=2lnx-x²．
∴f′(x)=

2

x

-2x，則f′（1）=0．
又f（1）=-1，
∴曲線y=f（x）在線x=1處的切線方程為y=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=alnx-x²+（2-a）x （a＞0），
函數(shù)定義域為（0，+∞），
∴f′(x)=

a

x

-2x+(2-a)=

-2x2+(2-a)x+a

x

=

-(2x+a)(x-1)

x

．
令f′（x）=0，得x1=-

a

2

，x2=1．
∵a＞0，
∴x1=-

a

2

（舍）．
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
且f（x）在（0，+∞）上只有一個極大值，即為最大值．
∴f(x)max=f(1)=-1+2-a=

1

2

，解得a=

1

2

；
（Ⅲ）g（x）=f（x）+2（a-1）x
=alnx-x²+（2-a）x+2ax-2x=alnx-x²+ax，
g′(x)=

a

x

-2x+a．
∵g（x）在區(qū)間（0，2）上不單調，
∴g′（x）=0在（0，2）上存在實數(shù)解且無重根．
由g′（x）=0，得2x²-ax-a=0，
令h（x）=2x²-ax-a，x∈（0，2）．
∵a＞0，∴h（0）=-a＜0，
若g′（x）=0在（0，2）上存在實數(shù)解且無重根，則h（x）=0在（0，2）上存在實數(shù)解且無重根．
∴h（2）＞0，
即8-3a＞0，a＜

8

3

．
又a＞0，
∴0＜a＜

8

3

．
∴a的取值范圍是（0，

8

3

）．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，對于（Ⅲ）的求解，把y=g（x）在區(qū)間（0，2）上不單調轉化為g′（x）=0在（0，2）上存在實數(shù)解且無重根是關鍵，是壓軸題．