Question

13．如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓為O，底面的一條直徑為AB，C為半圓弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，E為劣弧$\widehat{CB}$的中點(diǎn)，已知PO=2，OA=1，
（1）求三棱錐P-AOC的體積；
（2）求異面直線PA和OE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由條件便知PO為三棱錐P-AOC的高，底面積S_△AOC又容易得到，從而帶入棱錐的體積公式即可得到該三棱錐的體積．
（2）根據(jù)條件能夠得到OE∥AC，從而找到異面直線PA，OE所成角為∠PAC，可取AC中點(diǎn)H，連接PH，便得到PH⊥AC，從而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC．

解答 解：（1）∵PO=2，OA=1，OC⊥AB，
∴三棱錐P-AOC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$；
（2）∵C為半圓弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，E為劣弧$\widehat{CB}$的中點(diǎn)，
∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；
∴OE∥AC；
∴∠PAC便是異面直線PA和OE所成角；
在△ACP中，AC=$\sqrt{2}$，AP=CP=$\sqrt{5}$．
如圖，取AC中點(diǎn)H，連接PH，則PH⊥AC，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$；
∴異面直線PA與OE所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點(diǎn)評 考查圓錐的定義，圓錐的高和母線，等弧所對的圓心角相等，能判斷兩直線平行，以及異面直線所成角的定義及找法、求法，屬于中檔題．