Question

（本小題滿分10分）
已知圓O：，圓C：，由兩圓外一點(diǎn)引兩圓切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，滿足|PA|=|PB|.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；
（Ⅱ）求切線長(zhǎng)|PA|的最小值；
（Ⅲ）是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切？若存在，求出圓P的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) (2)2(3)不存在符合題設(shè)條件的圓P

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1，
∴|PO|²=|PC|²，從而
化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：
.                            ………………3分
（Ⅱ）由，得


∴當(dāng)時(shí)，                  ………………3分
（Ⅱ）∵圓O和圓C的半徑均為1，若存在半徑為R圓P，與圓O相內(nèi)切
并且與圓C相外切，則有
  且 
于是有：  即 
從而得
兩邊平方，整理得   ……………2分
將代入上式得：
故滿足條件的實(shí)數(shù)a、b不存在，∴不存在符合題設(shè)條件的圓P………………2分
點(diǎn)評(píng)：利用線與圓的相切，根據(jù)切線長(zhǎng)定理建立關(guān)系式，進(jìn)而得到a,b的關(guān)系。對(duì)于條件性探索試題，可以先假設(shè)存在，在假設(shè)的基礎(chǔ)上推理論證，求解得到， 說明存在，不存在會(huì)找到一個(gè)矛盾。屬于中檔題。