【題目】記無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為,最小值為,令.

1)若,請(qǐng)寫出的值;

2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件;

3)若對(duì)任意,有,且,請(qǐng)問(wèn):是否存在,使得對(duì)于任意不小于的正整數(shù),有成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】15;(2)證明見解析;(3)存在,理由見解析.

【解析】

1)計(jì)算得到,代入計(jì)算得到答案.

2)分別證明充分性和必要性得到答案.

3)反證法,假設(shè)不成立,則 得到

,通過(guò)累加得到,與題設(shè)矛盾,得證.

1)(1,則,

2)數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為

,為定值,故數(shù)列是等差數(shù)列;

數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為,則

,至少一組相等,不妨設(shè)只有

,為等差數(shù)列

同理可得只有和都相等的情況,故數(shù)列是等差數(shù)列

綜上所述:數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件

3)存在

假設(shè)不存在,則,對(duì)任意,一定存在使得符號(hào)相反.

所以數(shù)列中存在,其中

因?yàn)?/span>,即

注意到:,有且僅有一個(gè)等號(hào)成立.

所以必有

所以,所以

因?yàn)?/span>,所以,所以

;;

累加可得;

這與矛盾,假設(shè)不成立

故存在,使得對(duì)于任意不小于的正整數(shù),有成立

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)由方程確定,下列結(jié)論正確的是________(請(qǐng)將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)

上的單調(diào)遞減函數(shù);

對(duì)于任意恒成立;

對(duì)于任意,關(guān)于的方程都有解;

存在反函數(shù),且對(duì)任意,總有成立.

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【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;

)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,求證:由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對(duì)稱.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為等差數(shù)列,則使等式能成立的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值為_________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)數(shù)列為首項(xiàng)是4,公差為1的等差數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和,且。

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

2問(wèn)是否存在使成立?若存在,求出,若不存在,說(shuō)明理由;

3)對(duì)任意的正數(shù),不等式恒成立,求正數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】省環(huán)保廳對(duì)、三個(gè)城市同時(shí)進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè),測(cè)得三個(gè)城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個(gè),三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)如下表所示:

優(yōu)(個(gè))

28

良(個(gè))

32

30

已知在這180個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè),恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.

(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個(gè)數(shù)據(jù)中抽取30個(gè)進(jìn)行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù);

(2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,空間直角坐標(biāo)系中,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形,且底面在平面內(nèi),點(diǎn)軸正半軸上,平面,側(cè)棱與底面所成角為45°

1)若是頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過(guò)兩點(diǎn)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn),試給出滿足的關(guān)系式;

2)若是棱上的一個(gè)定點(diǎn),它到平面的距離為),寫出兩點(diǎn)之間的距離,并求的最小值;

3)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)),使得當(dāng)取得最小值時(shí),異面直線互相垂直?請(qǐng)說(shuō)明理由;

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【題目】將所有平面向量組成的集合記作,是從的映射,記作,其中都是實(shí)數(shù).定義映射的模為:在的條件下 的最大值記做.若存在非零向量,及實(shí)數(shù)使得,則稱的一個(gè)特征值.

(1)若;

(2)如果,計(jì)算的特征值,并求相應(yīng)的;

3)試找出一個(gè)映射,滿足以下兩個(gè)條件:①有唯一特征值,②.(不需證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4—4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線 (為參數(shù)) 上任意一點(diǎn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線

Ⅰ)求曲線和直線的普通方程;

Ⅱ)點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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