【題目】將所有平面向量組成的集合記作，是從到的映射，記作或，其中都是實數(shù).定義映射的模為:在的條件下 的最大值記做.若存在非零向量，及實數(shù)使得，則稱為的一個特征值.

（1）若求；

（2）如果,計算的特征值，并求相應(yīng)的；

（3）試找出一個映射，滿足以下兩個條件:①有唯一特征值，②.(不需證明)

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）

【解析】

(1)根據(jù)題目中的定義,在的條件下的最大值為,分別用表達與再分析即可.

(2) 由求得后再聯(lián)立方程求中的系數(shù).

(3)根據(jù)題意設(shè),列出,再分析滿足的關(guān)系即可.

(1)由于此時,

又因為是在的條件下 (時取最大值),所以此時有；

(2)由,可得： ,

兩式相乘可得：,從而．

當時,解方程組,此時這兩個方程是同一個方程,

所以此時方程有無窮多個解,為,其中．

當時,同理可得相應(yīng)的,其中．

(3)由方程組,可得從而向量與平行,從而有應(yīng)滿足：；

當時,f有唯一的特征值,且,

故．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知常數(shù)，數(shù)列滿足，.

(1)若，，求的值；

(2)在(1)的條件下，求數(shù)列的前項和；

(3)若數(shù)列中存在三項，，(且)依次成等差數(shù)列,求的取值范圍.

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【題目】記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，.

（1）若，請寫出的值；

（2）求證：“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件；

（3）若對任意，有，且，請問：是否存在，使得對于任意不小于的正整數(shù)，有成立？請說明理由.

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【題目】由9個正數(shù)組成的矩陣中，每行中三個數(shù)成等差數(shù)列，且、、成等比數(shù)列，給出下列判斷：① 第2列中，、、必成等比數(shù)列；② 第1列中的、、不一定成等比數(shù)列；③ ；④ 若9個數(shù)之和等于9，則；其中正確的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，。

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論零點的個數(shù)；

（3）當時，設(shè)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的離心率為其右頂點為，下頂點為，定點，的面積為過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點，直線分別與軸交于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）試探究的橫坐標的乘積是否為定值，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定函數(shù)和，令，對以下三個論斷：

（1）若和都是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)；（2）若和都是非奇非偶函數(shù)，則也是非奇非偶函數(shù)：（3）和之一與有相同的奇偶性；其中正確論斷的個數(shù)為（ ）

A.0個B.1個C.2個D.3個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在3個零點，求實數(shù)的取值范圍．

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