Question

已知橢圓的焦距為，其長軸長和短軸長之比為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓的右焦點，T為直線上縱坐標不為的任意點，過作的垂線交橢圓于點, 若平分線段(其中為坐標原點)，求的值；

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的標準方程是；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意橢圓焦距為，長軸長和短軸長分別為：，且，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程得到橢圓的標準方程；（Ⅱ）根據(jù)題意. 設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理得到，利用中點坐標公式，得到的中點的坐標，因為得到點的坐標和直線的方程，將點的坐標代入直線的方程中，解得.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得解得.

所以橢圓C的標準方程是. （5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，點的坐標是.

設(shè)直線PQ的方程為，將直線PQ的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得

消去x，得，其判別式.

設(shè)，則.于是.

設(shè)為PQ的中點，則點的坐標為. 7分

因為，所以直線的斜率為，其方程為.

當時，，所以點的坐標為，

此時直線的斜率為，其方程為.

將點的坐標代入上式得.

解得. （12分）

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線和橢圓綜合應用；3.韋達定理.