Question

設函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時f（x）＞0，f（1）=1．
（1）判斷f（x）的單調性，并證明；
（2）當-3≤x≤3時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，得f（x）為奇函數(shù)．令x＞y，由已知可得f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y），結合x＞0時f（x）＞0，結合函數(shù)單調性的定義可得結論．
（2）運用（1）的結論和條件f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=1，求出f（3）和f（-3）即可．

解答： 解：（1）f（x）在R上是增函數(shù)．
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，則f（0+y）=f（0）+f（y）
∴f（0）=0，
令y=-x，
∴f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
∴f（x）為R上的奇函數(shù)，
令x₂＞x₁則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x）為R上的單調增函數(shù)；
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=1，
∴f（2）=2f（1）=2，f（3）=f（2）+f（1）=3，
∴f（-3）=-3
∵f（x）在R上是增函數(shù)，
∴f（x）在[-3，3]上的值域是[f（-3），f（3）]，
即f（x）的取值范圍為[-3，3]．

點評：本題以抽象函數(shù)為載體考查了函數(shù)求值，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性和函數(shù)的最值，熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調性的定義是解答的關鍵．