Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)，
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域中的x均成立，化簡即m²x²-1=x²-1對(duì)定義域中的x均成立，解出m，并代入題目進(jìn)行檢驗(yàn)．
（2）將對(duì)數(shù)的真數(shù)進(jìn)行常數(shù)分離，先判斷真數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)底數(shù)的范圍確定整個(gè)對(duì)數(shù)式得單調(diào)性．

解答： 解：（1）由題意得f（x）+f（-x）對(duì)定義域中的x均成立，
∴l(xiāng)og_a

1-mx

x-1

+log_a

mx+1

-x+1

=0，即

1-mx

x-1

•

mx+1

-x+1

=1，
即m²x²-1=x²-1，
解得m=-1，或m=1（舍去），
（2）由（1）得f（x）=log_a

1+x

x-1

，
設(shè)t=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，
當(dāng)x₁＞x₂＞1時(shí)，當(dāng)t₁-t₂=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
當(dāng)a＞1時(shí)，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用奇偶性的對(duì)應(yīng)建立方程是解決本題的關(guān)鍵．