Question

有4個(gè)不同的球，把球全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，
（1）共有多少種放法？
（2）若恰有1個(gè)盒子不放球，有多少種放法？
（3）若恰有2個(gè)盒子不放球，有多少種放法？

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,排列組合

分析：（1）直接利用分步計(jì)數(shù)原理求解即可．
（2）“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事，通過(guò)小球分組然后求解即可．
（3）四個(gè)不同的球全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來(lái)求解，先把四個(gè)球分為兩組，再取兩個(gè)盒子，作全排列，由于四個(gè)球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類來(lái)求解，再求出它們的和．

解答： 解：：（1）一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，放法共有：4⁴=256種．
（2）“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事．
選擇一個(gè)盒子放2個(gè)球，有

C

1 4

C

2 4

，選擇2個(gè)盒子各放一個(gè)球的方法數(shù)：

A

2 3

，
共有方法數(shù)：

C

1 4

C

2 4

A

2 3

=144種放法．
（3）四個(gè)球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）
若兩組每組有兩個(gè)球，不同的分法有

C 2 4

A 2 2

=3種，恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是3×A₄²=36種，
若兩組一組為3，一組為1個(gè)球，不同分法有C₄³=4種恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是4×A₄²=48種，
綜上恰有兩個(gè)盒子不放球的不同放法是36+48=84種．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理與排列組合的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，（3）解題的關(guān)鍵是理解事件“四個(gè)不同的球全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰有兩個(gè)盒子不放球”，宜先將四個(gè)球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數(shù)．