Question

袋子共裝有9個(gè)球，其中4個(gè)白球，4個(gè)黃球，1個(gè)黑球，每次從袋中取出一個(gè)球（不放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等），直到當(dāng)袋中的白球數(shù)小于2個(gè)或黃球數(shù)小于2個(gè)時(shí)才停止取球，記隨機(jī)變量ξ表示取球的次數(shù)．
（Ⅰ）求當(dāng)ξ=3時(shí)的概率；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）若ξ=3，則即三次都取白球，或都取黃球，利用排列數(shù)即可求出其概率．
（II）由題中ξ的取值可能是3，4，5，6，由等可能事件的概率計(jì)算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)ξ=3時(shí)，即三次都取白球，或都取黃球，則P(ξ=3)=

A 3 4

A 3 9

×2=

2

21

…（3分）
（Ⅱ）由題意得ξ的所有可能取值為3，4，5，6；…（4分）
P(ξ=4)=

C 1 5 C 1 3 A 3 4

A 4 9

×2=

5

21

，
P(ξ=5)=

C 2 5 A 2 4 A 3 4

A 5 9

×2=

8

21

，
P(ξ=6)=

C 2 4 A 3 5 A 3 4

A 6 9

×2=

2

7

…（7分）
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	3	4	5	6
P	2 21	5 21	8 21	2 7

所以E(ξ)=

2

7

+

20

21

+

40

21

+

12

7

=

34

7

…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相應(yīng)的概率計(jì)算公式求出變量取每一個(gè)可能值的概率，列出分布列，求出期望．