Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)圖象得到單調(diào)區(qū)間；
（3）數(shù)形結(jié)合確定零點(diǎn)的條件．

解答 解：（1）根據(jù)圖形可知，$\frac{3}{4}$T=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3π}{4}$，所以T=π，
因此，ω=2，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ），
且當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，函數(shù)取得最大值，
即sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=1，即sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，
且|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以，φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{5π}{12}$，令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，解得x=$\frac{11π}{12}$，
所以函數(shù)f（x）在（0，π）上的單調(diào)區(qū)間為：
（0，$\frac{5π}{12}$）單調(diào)遞增，（$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$）單調(diào)遞減，（$\frac{11π}{12}$，π）單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
此時(shí)，f（x）先增后減，在x=$\frac{5π}{12}$處取得最大值，
要使f（x）-k=0有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦圖象可知，
k∈[f（$\frac{π}{2}$），f（$\frac{5π}{12}$）），即k∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間和最值，以及函數(shù)零點(diǎn)的確定，屬于中檔題．