Question

如圖，正三棱錐P-ABC的所有棱長都為4．點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在棱PA，PB，PC上，滿足PD=PF=1，PE=2，則三棱錐P-DEF的體積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：過頂點(diǎn)P作PO⊥底面ABC，垂直為O，則點(diǎn)O是底面的中心．在正△ABC中，先由重心定理求出AO的長，進(jìn)而在Rt△PAO中求出高PO，底面正△ABC的面積易求，再根據(jù)三棱錐的體積公式V_{三棱錐P-ABC}，再求出三棱錐P-DEF的體積．

解答： 解：如圖所示：過頂點(diǎn)P作PO⊥底面ABC，垂足為O，則點(diǎn)O是底面的中心．
∵點(diǎn)O是底面的中心，即為△ABC的重心，∴OA=

4 3

3

．
在Rt△PAO中，由勾股定理得PO=

4 6

3

．
又∵S_△ABC=

3

4

•42=4

3

，
∴V_{三棱錐P-ABC}=

1

3

•4

3

•

4 6

3

=

16

3

2

．
∵PD=PF=1，PE=2，
∴三棱錐P-DEF的體積是

1

4

•

1

4

•

1

2

•

16

3

2

=

2

6

．
故答案為：

2

6

．

點(diǎn)評：理解正三棱錐的定義及體積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．