Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x，數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）．試用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n≥2ⁿ-1．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：依題意，a₁≥1，a_n+1≥(an+1)2-1，利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，易證結(jié)論成立；（2）假設(shè)n=k（k≥1）且k∈N^*時結(jié)論成立，即a_k≥2^k-1，去證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立即可．

解答： 解：∵f（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），
∴a_n+1≥(an+1)2-1…（3分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，a₁≥2¹-1=1，結(jié)論成立；…（5分）
（2）假設(shè)n=k（k≥1）且k∈N^*時結(jié)論成立，即a_k≥2^k-1，…（6分）
則當(dāng)n=k+1時，a_k+1≥(ak+1)2-1≥2^2k-1≥2^k+1-1…（9分）
即n=k+1時，結(jié)論也成立．…（11分）
由（1）、（2）知，對任意n∈N^*，都有a_n≥2ⁿ-1．…（12分）

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，著重考查推理與證明的能力，證明當(dāng)n=k+1時，合理放縮是關(guān)鍵，屬于中檔題．