Question

【題目】設(shè),函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), 是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求導(dǎo)函數(shù)的最小值;

(2)若不等式對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;

(3)若函數(shù)存在極大值與極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，求零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律，進(jìn)而確定導(dǎo)函數(shù)最小值取法，（2）先變量分離化簡不等式，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定其最小值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得其最大值;（3）函數(shù)存在極大值與極小值，即存在兩個(gè)零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的兩側(cè)異號.先確定導(dǎo)函數(shù)不單調(diào)且最小值小于零，即得，再證明時(shí)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

詳解：解：

（1）當(dāng)時(shí)，記

則，由得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，

所以

（2）由得，即

因?yàn)?/span>，所以.

記，則

記，則

因?yàn)?/span>，所以且不恒為0

所以時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以

所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>對恒成立，

所以，即

所以實(shí)數(shù)的最大值為

（3）記，

因?yàn)?/span>存在極大值與極小值，

所以，即存在兩個(gè)零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的兩側(cè)異號.

①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

此時(shí)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由，得

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以

所以存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件為： ，即

由時(shí)，

(ⅰ)記，則

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，所以.

所以在上，有且只有一個(gè)零點(diǎn).

又在上單調(diào)，

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，

由在內(nèi)單調(diào)遞減，易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極大值

（ⅱ）記，則

所以時(shí)，，所以

由（1）知時(shí)，有

所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí),

因?yàn)?/span>且，的圖像在單調(diào)且不間斷，

所以在上，有且只有一個(gè)零點(diǎn).

又在上單調(diào)

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，

由在內(nèi)單調(diào)遞增，易得當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.