Question

在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC上，AD=kAC（k為常數(shù)，且0＜k＜1），BD=l為定長，則△ABC的面積最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：如圖所示，以B為原點(diǎn)，BD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x，y），y＞0，根據(jù)題意得到AD=kAB，兩邊平方得到關(guān)系式，利用勾股定理化簡后表示出y²，變形后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，進(jìn)而確定出三角形ABD面積的最大值，根據(jù)AD=kAC即可得出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：如圖所示，以B為原點(diǎn)，BD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x，y），y＞0，
∵AB=AC，
∴AD=kAC=kAB，即AD²=k²AB²，
∴（x-l）²+y²=k²（x²+y²），
整理得：y²=

-(1-k2)x2+2lx-l2

1-k2

=

-(1-k2)(x- l 1-k2 )2+ k2l2 1-k2

1-k2

≤

k2l2

(1-k2)2

，
∴y_max=

kl

1-k2

，
∵BD=l，
∴（S_△ABD）_max=

kl2

2(1-k2)

，
則（S_△ABC）_max=

1

k

（S_△ABD）_max=

l2

2(1-k2)

．
故答案為：

l2

2(1-k2)

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．