Question

已知函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

．
（l）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)，并說明理由；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，若

1

1 2 -f(x)

＜4x+b恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的定義域，設(shè)x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化簡到能直接判斷符號為止，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域為R，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，f（0）=0，求出a的值，再利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明，即可確定答案；
（3）由（2）可知f（x）的解析式，

1

1 2 -f(x)

＜4x+b恒成立，變形為b＞-4^x+2^x+1恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為求（-4^x+2^x+1）_max，利用換元法，將-4^x+2^x+1轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值，從而求得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

，
顯然f（x）的定義域為R，
任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=a-

1

2x1+1

-a+

1

2x2+1

=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，且（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）∵f（x）的定義域為R，且f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴a-

1

2

=0，
∴a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
∵f（x）+f（-x）=

1

2

-

1

2x+1

+

1

2

-

1

2-x+1

=1-

2x+2-x+2

(2x+1)(2-x+1)

=1-

2x+2-x+2

2x+2-x+2

=1-1=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴當(dāng)a=

1

2

時，f（x）為奇函數(shù)；
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴由（2）可得，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
∵

1

1-f(x)

＜4x+b，
∴2^x+1＜4^x+b，
∴b＞-4^x+2^x+1恒成立，即b＞（-4^x+2^x+1）_max，
令t=2^x，
∴-4^x+2^x+1=-t²+t+1=-（t-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

，
∴（-4^x+2^x+1）_max=

5

4

，
∴b＞

5

4

，
∴實數(shù)b的取值范圍為b＞

5

4

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)的恒成立問題．函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．本題選用了參變量分離的方法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題．屬于中檔題．