Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R）在點(diǎn)P（0，f（0））處切線為l．
（Ⅰ）若切線l的斜率為2，求f（x）；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：無(wú)論a取什么實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象總在直線l的上方（點(diǎn)P除外）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由f'（0）=2求得a的值，則f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）分a≤0和a＞0討論，由導(dǎo)函數(shù)大于0求得原函數(shù)的增區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)小于0求得原函數(shù)的減區(qū)間；
（Ⅲ）求出切線l的方程，把證明函數(shù)f（x）的圖象總在直線l的上方轉(zhuǎn)化為證e^x-（x+1）＞0（x≠0），構(gòu)造函數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值加以證明．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，則f′（0）=1-a，
由題意可知f′（0）=2，
∴a=-1．
∴f（x）=e^x+x；
（Ⅱ）解：∵f′（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=e^x-a＞0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＞0時(shí)，若f′（x）＞0，則x＞lna．
若f'（x）＜0，則x＜lna．
∴f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，lna）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）證明：∵P（0，1），f′（0）=1-a，
∴l(xiāng)的方程為y=（1-a）x+1，
要證函數(shù)f（x）=e^x-ax的圖象恒在其切線l：y=（1-a）x+1的上方（切點(diǎn)除外），
即證e^x-ax＞（1-a）x+1，
即證e^x-（x+1）＞0（x≠0），
令h（x）=e^x-（x+1），則h′（x）=e^x-1，
由h'（x）＞0，得x＞0，
由h'（x）＜0，得x＜0．
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（0）=0，
∴e^x＞x+1（x≠0）．
∴當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）＞（1-a）x+1．
即函數(shù)f（x）的圖象恒在其切線l的上方（切點(diǎn)除外）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．