對于任意的n∈N*（n不超過數(shù)列的項數(shù)），若數(shù)列{an}滿足：a1+a2+…+an=a1•a2•…•an，則稱該數(shù)列為K數(shù)列．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是首項a1=2的K數(shù)列，求a3的值；
（Ⅱ）若數(shù)列{
1
an
}是K數(shù)列．
（1）試求an+1與an的遞推關(guān)系；
（2）當(dāng)n≥3且0＜a1＜1時，試比較
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
與
16
3
的大小．
考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合
專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：（Ⅰ）根據(jù)遞推數(shù)列分別令n=2，3，即可求a3的值；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{
1
an
}是K數(shù)列．建立條件故選即可得到結(jié)論．
解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=2時，a1+a2=a1•a2，即2+a2=2a2，
解得a2=2，
當(dāng)n=3時，a1+a2+a3=a1•a2•a3，即2+2+a3=4a3，
解得a3=
4
3
；
（Ⅱ）∵數(shù)列{
1
an
}是K數(shù)列，
∴
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
1
a1
•
1
a2
•…
1
an
，①
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
+
1
an+1
=
1
a1
•
1
a2
•…
1
an
，②
兩式相減得
1
an+1
=（
1
an+1
-1）
1
a1
•
1
a2
•…
1
an
，③
則
1
an
=（
1
an
-1）
1
a1
•
1
a2
•…
1
an-1
，（n≥2），④
兩式相除得
1
an+1
1
an
=
(
1
an+1
-1)•
1
an
1
an
-1
，
整理得an+1=an2-an+1=0，（n≥2）．
又
1
a1
+
1
a2
=
1
a1
•
1
a2
，
∴a2=1-a1，
綜上an+1與an的遞推關(guān)系為an+1=
1-an，n=1
an2-an+1，n≥2
．
（2）∵0＜a1＜1，∴0＜1-a1＜1，
從而
3
4
≤a3=(a2-
1
2
)2+
3
4
＜1，
a4≥（
3
4
）2-
3
4
+1=
13
16
，
又an+1＞an≥
13
16
，（n≥4），
當(dāng)n≥2時，
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1

∴n≥3時，
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
1
a1
+（
1
a2-1
-
1
a3-1
）+…+（
1
an-1
-
1
an+1-1
）
=
1
a1
+
1
a2-1
-
1
an+1-1
=-
1
an+1-1
=
1
1-an+1
≥
13
16
．
點(diǎn)評：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)PD=
2
AB=2，且VA-PED=
1
3
時，確定點(diǎn)E的位置，即求出
PE
EB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．
（1）若cn=（an+1-an）bn（n∈N*），求證：{cn}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)cn=anbn（n∈N*），其中an是公差為2的整數(shù)項數(shù)列，bn=(
12
13
)n，若c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，且當(dāng)n≥17時，{cn}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）若數(shù)列{cn}使得{
anbn
cn
}是等比數(shù)列，數(shù)列{dn}的前n項和為
an-cn
cn
，且數(shù)列{dn}滿足：對任意n≥2，n∈N*，或者dn=0恒成立或者存在正常數(shù)M，使
1
M
＜|dn|＜M恒成立，求證：數(shù)列{cn}為等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax（a∈R）在點(diǎn)P（0，f（0））處切線為l．
（Ⅰ）若切線l的斜率為2，求f（x）；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：無論a取什么實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象總在直線l的上方（點(diǎn)P除外）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l的方程為x-y=0，圓C的一般方程為x2+y2-2x=0，
（1）求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑； 
（2）求直線l與圓心C的距離； 
（3）試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，若相交，則求直線l被圓C截得的弦AB的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于給定的數(shù)列{cn}，如果存在實(shí)常數(shù)p、q，使得cn+1=pcn+q對于任意n∈N*都成立，我們稱數(shù)列{cn}是“優(yōu)美數(shù)列”．
（1）若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，數(shù)列{an}、{bn}是否為“優(yōu)美數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q，若不是，請說明理由；
（2）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1=3•2n（n∈N*）．若數(shù)列{an}是“優(yōu)美數(shù)列”，求數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}、{bn}，滿足bn=log2an（n∈N*），且{bn}為等差數(shù)列，a1=2，a3=8．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）試比較
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an 
與1的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是
 
．（用數(shù)字作答）

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同步練習(xí)冊答案