Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

3

）-

3

（1）求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)增區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行展開后合并，進(jìn)而再由輔助角公式化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)T=

2π

ω

可確定周期．
（2））根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=4cosxsin（x+

π

3

）-

3

=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

=sin2x+

3

（1+cos2x）-

3

=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z．
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z．
（2）由y=sin2x的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位可得函數(shù)y=sin2（x+

π

6

）=sin（2x+

π

3

）的圖象，
再把所得圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的正弦定理和輔角公式的應(yīng)用，考察了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．